相続が発生したら、まず何をするの?

まずは、死亡後7日以内に死亡届を市区町村役場(市役所、区役所、その他)へ提出します。
一般的には、葬儀社が代行してくれます。

その後、「年金事務所」もしくは「街角の年金相談センター」へ死亡届(年金証書と、除籍謄本など死亡を証明する書類を添付します)を提出します。
(因に、平成23年7月以降、日本年金機構に住民票コードが収録されている方は、原則として死亡届を省略できるようになったそうです)

遺族基礎年金、寡婦年金、国民年金の死亡一時金に関する手続きについては、市区町村役場でも受け付けてくれます。

(PDFファイル) 相続発生直後の手続き

最も質問が多いのが「銀行へはいつ届け出る?」と言うことです。
個々の事情がありますので、一概には言えないのですが、管理会社を通さず家賃を受け取っている場合、まずは『貸主変更通知書』を借主へ提出しましょう。
もちろん、遺言がない場合、家賃は相続直後から遺産分割協議が成立するまでは、共同相続人全員の共有物となりますので、受け取るための預貯金口座は遺産管理口座として新規に作成し、分割しやすいようにしておくことをお勧めします。
その他、電気・ガス・水道・固定資産税などの自動引き落としについては、口座が凍結されると“滞納”となるので、遺産管理口座からの引落か、現金払い(領収書は絶対に紛失しないように)へ切り替えることをお勧めします。
また、クレジットカードの引き落としもあるかもしれませんので、通帳と郵便物について注意が必要です。
つまり、入出金について大きなトラブルが起こりそうな問題点を解決してから銀行へ届出されることをお勧めします。

尚、貸主変更通知書などは「権利義務に関する書類」なので、行政書士の仕事となります。